网店装修 2种线段积为定值的动点轨迹问题

今天的文章从一道题说起，下面这道题目是2023-2024学年度，重庆南开中学初三上学期期末考试数学测试题的最后一题，咱们主要看第3问。过往2-3年习惯了最后一问考查瓜豆模型，这道题还是让人眼前一亮，与以往的题型考查方式不一样。大家可以先认真研究一下这道题。因为这种考法在重庆还是第一次出现。

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在讲解这道题的第三问之前，咱们通过两个例题一起来总结一下线段积为定值的动点的轨迹问题。一、线段积为定值的动点的轨迹为直线如图，半径为2的圆O交x轴于点A，点B，点C是圆上的一动点，延长AC至点D，使得AC*AD=24，求BD的最小值。

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解题思路：1、AC*AD=24为定值，首先想到的是比例式，比例內项乘积等于比例外项乘积；2、所以我们需要得到一个比例式，AC：x=y：AD3、得到比例式一般都是通过相似三角形得到的，且AC与AD在两个不同的三角形中4、根据圆的性质，直径所对圆周角等于90°，则连接BC5、此时AC为△ABC的直角边，则我们需要将AD放到一个直角三角形中，并且AD作为斜边

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6、此时△ACB∽△AED，则AC：AE=AB：AD，即AC*AD=24=AE*AB；所以求得AE=6。7、即D的运动轨迹是与AB垂直且距离A点的距离为6的一条直线。8、所以BD的最小值为2总结：AC*AD为定值，A为定点，C、D为动点，且A、C、D三点共线。二、线段积为定值的动点的轨迹为圆如图，B(0,4)，A是x轴上一个动点，ABCD为矩形且矩形的面积为24，求OC的最大值。

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解题思路：1、BA*BC=24为定值，想到比例式，比例內项乘积等于比例外项乘积；2、构造比例式，BA:X=Y:BC，且BA*BC=24=X*Y        3、得到比例式一般都是通过相似三角形得到的，且BC与BA在两个不同的三角形中4、首先能发现AB在直角△AOB中，且AB为斜边，并且有OB=4为定值，外包美工那么我们将OB看成X，那么我们就应该将Y看成斜边，BC看成直角边。根据乘积为定值可以求得Y=6。（以上这一步至关重要）5、那我们需要构造图形如下，作BE∥X轴交CD于点E

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美工6、△OBA∽△CBE（SAS），BA:BO=BE:BC，即BE＝67、由定弦定角，BE=6为定弦，角BCE=90°为定角，得到C的运动轨迹是以BE的中点F为圆心的一个圆。8、由一箭穿心可得，OC的最大值为OF+r=5+3=8

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总结：BC*BA为定值，B为定点，C、A为动点，且BC、BA夹角固定。当我们看完上面两道题之后，我们再来看2023-2024学年度重庆南开中学九年级上期末考试这道题。

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结合上面两道题，做线段乘积为定值的题目，做一个总结：1、乘积为定值，写成比例式的形式；2、构造相似三角形，其中一个三角形的一条边为定值3、根据定值，可以求出另外一个三角形的一条边为定值4、数形结合，判断动点的运动轨迹是直线，还是圆5、如果是直线，则就是垂线段最短；如果是圆（几何模型 | 5种隐圆问题），则是一箭穿心。最后再给大家留一道题，感兴趣的同学可以做一做：如图：B(0,2)，A为x轴上动点，∠ABC=60°，AB*BC=4√3，求OC的最大值。

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